Question

如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点P是⊙O上一点，连接AP、CP，作射线BP．
（1）求证：PC平分∠APB；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）过点A作⊙O的切线交射线于点D．若AD=2，PD=1，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠BAC=60°，再根据圆周角定理得∠APB=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，所以∠APC=∠BPC；
（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；
（3）先证明△ADP∽△BDA，根据相似的性质得AD：DP=DB：DA=PA：AB，可计算出DB=4，AB=2PA，则BP=BD-DP=3，再证明△ADP∽△CAP，由相似比得到AP²=CP•PD，由（1）的结论得PC=PB+PA=3+PA，则AP²=（3+AP）•1，解此方程得到AP=

1+ 13

2

，所以AB=2AP=1+

13

，即得到等边三角形的边长，接着利用等边三角形的外接圆半径为高的

2

3

进行求解．

解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠APB=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠APC=∠BPC，
∴PC平分∠APB；
（2）解：PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°-∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，

∠PAB=∠BCF ∠APB=∠BFC BP=BF

，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，
∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）解：∵DA为⊙O的切线，
∴∠DAP=∠DBA，
而∠ADP=∠BDA，
∵△ADP∽△BDA，
∴AD：DP=DB：DA=PA：AB，即2：1=DB：2=PA：AB，
∴DB=4，AB=2PA，
∴BP=BD-DP=3，
∵∠APD=180°-∠BPA=60°，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠ACP，
∴△ADP∽△CAP，
∴AP：PC=DP：AP，
∴AP²=CP•PD，
而PC=PB+PA=3+PA，
∴AP²=（3+AP）•1，
整理得AP²-AP-3=0，
解得：AP=

1+ 13

2

或AP=

1- 13

2

（舍去），
∴AB=2AP=1+

13

，
∴△ABC的高=

3

2

AB=

3

2

•（1+

13

）=

3

2

+

39

2

，
∴⊙O的半径=

2

3

•（

3

2

+

39

2

）=

3 + 39

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和切线的判定与性质等知识，能够熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．