Question

11．如图，已知A是定角∠MON的平分线上的一个定点，过A任作一条直线与OM、ON分别交于P、Q，求证：$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$为定值．

Answer 1

分析 过Q作QB∥AO，交PO的延长线于B，作OC⊥BQ于C，由平行线的性质得到∠AOP=∠B，∠AOQ=∠BQO，根据角平分线的定义得到∠AOP=∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠MON，证得OQ=OB，求得OQ+OP=OB+OP=PB，根据分式的运算得到$\frac{1}{OP}+\frac{1}{OQ}=\frac{OP+OB}{OP•OQ}=\frac{PB}{OP•OQ}$，①根据线段垂直平分线的定义证得CQ=$\frac{1}{2}$BQ，根据QB∥AO，推出$\frac{PB}{OP}=\frac{BQ}{OA}$②，把②代入①通过化简即可得到结论．

解答 证明：过Q作QB∥AO，交PO的延长线于B，作OC⊥BQ于C，
∴∠AOP=∠B，∠AOQ=∠BQO，
∵OA平分∠MON，
∴∠AOP=∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠MON，
∴OQ=OB，
∴OQ+OP=OB+OP=PB，
∴$\frac{1}{OP}+\frac{1}{OQ}=\frac{OP+OB}{OP•OQ}=\frac{PB}{OP•OQ}$，①
∵OQ=OB，OC⊥BQ，
∴CQ=$\frac{1}{2}$BQ，
∵QB∥AO，
∴$\frac{PB}{OP}=\frac{BQ}{OA}$②，
把②代入①得：$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{BQ}{OA•OQ}=\frac{2}{OA}×\frac{\frac{BQ}{2}}{OQ}$=$\frac{2}{OA}$×$\frac{CQ}{OQ}$=$\frac{2}{OA}$•cos$∠BQO=\frac{2}{OA}×cos\frac{1}{2}∠MON$③，
∵OA是一个定值，∠MON是一个定值，
∴③式是一个定值，
∴$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$为定值．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．