Question

16．如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠BDC=∠BAC，BD交AC于O，AM⊥BD于M
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：AD平分∠BDC的外角；
（3）求$\frac{BD-CD}{DM}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据∠1=∠2，∠BDC=∠BAC，推出A，B，C，D四点共圆，于是得到∠3=∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换即可得到结论；
（3）在BD上截取BF=CD，证得△ABO∽△ACD，得到AF=AD，根据等腰三角形的性质得到DF=2DM，于是求得结果．

解答 解：（1）∵∠BDC=∠BAC，∠AOB=∠COD，
∴∠1=180°-∠BAO-∠AOB，
∠2=180°-∠BDC-∠COD，
∴∠1=∠2；

（2）∵∠1=∠2，∠BDC=∠BAC，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠3=∠ABC，
∵∠ADB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠3=∠ADB，
∴AD平分∠BDC的外角；

（3）在BD上截取BF=CD，
在△ABO与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠1=∠2}\\{BF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABO∽△ACD，
∴AF=AD，∵AM⊥DF，
∴DF=2DM，
∴$\frac{BD-CD}{DM}$=$\frac{BD-BF}{DM}=\frac{DF}{DM}$=$\frac{2DM}{DM}$=2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．