Question

18．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB₁C₁；
（2）直接写出B₁，C₁的坐标；
（3）直接写出△ABC在运动过程中扫过的面积．（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）据题意所述，旋转中心为点A，旋转角度为90°，旋转方向为顺时针可找出各点的对称点，从而顺次连接可得出△AB₁C₁；
（2）根据图形即可写出B₁，C₁的坐标；
（3）△ABC扫过的面积是扇形BAB₁的面积与△ABC面积的和．

解答 解：（1）所画图形如下：


（2）如图，B₁的坐标为（-2，3），C₁的坐标（-1，-1）；

（3）∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°到△AB₁C₁的位置，
∴∠BAB₁=90°，
∵AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴扇形BAB₁的面积=$\frac{90π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{25π}{4}$，
∵△ABC的面积=4×4-$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×3×1=16-6-2-$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{2}$，
∴△ABC扫过的面积=扇形BAB₁的面积+△ABC面积=$\frac{25π}{4}$+$\frac{13}{2}$=$\frac{25π+26}{4}$．

点评 此题考查了作图-旋转变换及扇形面积的计算，解答本题需要正确地作出△AB₁C₁，第三问比较抽象，需要我们明确△ABC在运动过程中扫过的是那一部分的面积，难度较大．