Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O在BD上，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，OE=OF．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，AB=13，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
（2）连接OC，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 （1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；

（2）解：∵点O在∠BAC的平分线上，
∴OE=OF=OM．
∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12×5=30．
∵S_△ABC=S_△OBC+S_△AOC+S_△AOB=$\frac{1}{2}$×12OE+$\frac{1}{2}$×5OE+$\frac{1}{2}$×13OE=$\frac{1}{2}$×30OE=15OE=30，
∴OE=2．

点评 本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．