Question

4．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线AB相交于A（-1，0）、B（2，3）两点，与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MC+MD的值最小时m的值；
（3）若P是该抛物线上位于直线AB上方的一动点，求△APB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据轴对称的性质，可得C′点，根据两点之间线段最短，可得M点，根据待定系数法，可得DC′的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）如图1，，
作C关于x=3的对称点C′，C′点的坐标（6，3）．
连接C′D，C′D交x=3于M点，
设C′D的解析式为y=kx+b，将C′，D的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{21}{5}}\end{array}\right.$，
C′D的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{21}{5}$，
当x=3时，y=-$\frac{1}{5}$×3+$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$，
即M点坐标（-$\frac{1}{5}$，$\frac{18}{5}$）；
（3）如图2，，
AB的解析式为y=kx+b，将A、B点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
AB的解析式为y=x+1，
设E点坐标为E（m，m+1），P（m，-m²+2m+3），
PE═-m²+2m+3-（m+1）=-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
S_△APB=$\frac{1}{2}$PE（x_B-x_A）
=$\frac{1}{2}$×[-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]×[3-（-1）]
=2×[-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]
当m=$\frac{1}{2}$时，S_最大=2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用轴对称的性质得出C′点是解题关键；利用三角形的面积得出二次函数得出二次函数的性质是解题关键．