Question

6．如图，直线y₁=x+2与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于A（m，4），B（-4，n）．
（1）求k值；
（2）当y₁＞y₂时请直接写出x的取值范围；
（3）P为x轴上任意一点，当△ABP为直角三角形时，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、B坐标代入直线y₁=x+2可得m、n的值，将A或B坐标代入双曲线y₂=$\frac{k}{x}$可求得k的值；
（2）由A、B坐标根据函数图象可得x的取值范围；
（3）设P坐标为（a，0），根据A、B坐标分别表示出PA²、PB²、AB²，分∠BAP=90°、∠ABP=90°、∠APB=90°三种情况根据勾股定理列出关于a的方程，解方程可得a的值，即可得点P的坐标．

解答 解：（1）根据题意可将点A（m，4），B（-4，n）代入直线y₁=x+2，
得：m+2=4，-4+2=n，
解得：m=2，n=-2，
故点A坐标为（2，4），点B坐标为（-4，-2），
将点A（2，4）代入双曲线y₂=$\frac{k}{x}$，
可得k=8；
（2）观察图象可得，y₁＞y₂时，-4＜x＜0或x＞2；
（3）设x轴上的点P坐标为（a，0），
∵点A坐标为（2，4），点B坐标为（-4，-2），
∴PA²=（2-a）²+4²=（a-2）²+16，
PB²=（-4-a）²+（-2）²=（a+4）²+4，
AB²=（-4-2）²+（-2-4）²=72，
①当∠BAP=90°时，AB²+AP²=PB²，即（a-2）²+16+72=（a+4）²+4，
解得：a=6，
则点P坐标为（6，0）；
②当∠ABP=90°时，AB²+PB²=AP²，即72+（a+4）²+4=（a-2）²+16，
解得：a=-6，
则点P坐标为（-6，0）；
③当∠APB=90°，PA²+PB²=AB²，即（a-2）²+16+（a+4）²+4=72，
解得：a=-1+$\sqrt{17}$或a=-1-$\sqrt{17}$，
则点P的坐标为（-1+$\sqrt{17}$，0）或（-1-$\sqrt{17}$）；
综上，点P的坐标为：（6，0），（-6，0），（-1+$\sqrt{17}$，0），（-1-$\sqrt{17}$，0）．

点评 本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，根据直线与双曲线相交求得点A、B坐标是解题根本，由△ABP为直角三角形根据勾股定理分类讨论是解题的关键．