Question

13．如图，△ABC中．AB=AC=5．BC=6．将∠A折叠．使点A落在边BC上的点D处．折痕为EF，若△BDE是以BD为腰的等腰三角形．则BE=25-10$\sqrt{5}$或$\frac{30}{11}$．

Answer 1

分析 设BE=x，则AE=5-x，①如图1，当BE=BD=x时，过A作AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4，过E作EG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到EG=$\frac{4}{5}$x，BG=$\frac{3}{5}$x，求得DG=$\frac{2}{5}$x，根据折叠的性质得到DE=AE=5-x，根据勾股定理求得BE=25-10$\sqrt{5}$；②如图2，当BD=DE时，根据相似三角形的性质得到BE=$\frac{30}{11}$．

解答 解：设BE=x，则AE=5-x，
①如图1，当BE=BD=x时，
过A作AH⊥BC，
∵AB=AC，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4，
过E作EG⊥BC于G，
则EG∥AH，
∴△BGE∽△BHA，
∴$\frac{GE}{AH}=\frac{BG}{BH}=\frac{BE}{AB}$，
即$\frac{EG}{4}=\frac{BG}{3}=\frac{x}{5}$，
∴EG=$\frac{4}{5}$x，BG=$\frac{3}{5}$x，
∴DG=$\frac{2}{5}$x，
∵将∠A折叠．使点A落在边BC上的点D处．
∴DE=AE=5-x，
∵DE²=DG²+EG²，
∴（5-x）²=（$\frac{2}{5}$x）²+（$\frac{4}{5}$x）²，
解得：x=25-10$\sqrt{5}$，x=25+10$\sqrt{5}$（不合题意，舍去），
∴BE=25-10$\sqrt{5}$；
②如图2，当BD=DE时，
∴∠B=∠BED，
∴∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}$，
∵将∠A折叠．使点A落在边BC上的点D处．
∴DE=AE=5-x，
∴$\frac{x}{6}=\frac{5-x}{5}$，
∴x=$\frac{30}{11}$，
∴BE=$\frac{30}{11}$，
故答案为：25-10$\sqrt{5}$或$\frac{30}{11}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．