Question

18．如图，正方形ABCD中，AB=2，M是AB的中点．连MC，点P，Q分别是MC，BC上任意一点，则PQ+PB的最小值为$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 如图，作点B关于CM的对称点B′，作B′Q⊥BC与CM的交点即为所求的点P，根据相似三角形的性质得到$\frac{BB′}{CM}=\frac{B′Q}{BC}$，由M是AB的中点，得到BM=1，根据勾股定理得到CM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，由三角形的面积公式得到BB′=2×$\frac{BM•BC}{CM}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，于是得到结论．

解答 解：如图，作点B关于CM的对称点B′，作B′Q⊥BC与CM的交点即为所求的点P，
∵∠B′+∠B′BQ=90°，
∠BCM+∠B′BQ=90°，
∴∠B′=∠BCM，
又∵∠ABC=∠BQB′=90°，
∴△BCM∽△B′QB，
∴$\frac{BB′}{CM}=\frac{B′Q}{BC}$，
∵M是AB的中点，
∴BM=1，
∴CM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BB′=2×$\frac{BM•BC}{CM}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{B′Q}{2}$，
∴B′Q=$\frac{8}{5}$，
∴PQ+PB的最小值=$\frac{8}{5}$，
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，确定出点P的位置是解题的关键．