题目内容
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（5，0），B点与A点关于y轴对称，C点在y轴上，连接AC、BC，∠ACB=90°．
（1）求C点坐标；
（2）点P（t，-2t+5）是△AOC内部一点，Q是第二象限内一点，连接PC、QC，且∠PCQ=90°，PC=CQ，作QE⊥OC，垂足为E，请用含t的式子表示OE的长；
（3）在（2）的条件下，延长QE交AC于点M，连接MP，延长MP交x轴于点N，连接BM，取BM的中点G，连接QG，延长QG交x轴于点H，当QM=6HN时，求MP的长．
分析 （1）根据题意得到OC垂直平分AB，根据直角三角形的性质得到OA=OC=5，得到答案；
（2）作PD⊥OC于点D，证明△PDC≌△CEQ，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据题意画出图形，根据△PDC≌△CEQ，得到QE=CD=2t，根据QM=6HN列出关系式，计算即可．
解答 解：（1）∵B点与A点关于y轴对称，C点在y轴上，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵∠AOC=90°，
∴∠CAB=∠ACO=45°，
∴OA=OC，
∵A点的坐标为（5，0）
∴OA=OC=5，
∴C（0，5）；
（2）作PD⊥OC于点D，
∵QE⊥OC，PD⊥OC，
∴∠QEC=∠PDC=90°，
∵P（t，-2t+5），
∴PD=t，
∵∠PCQ=90°，
∴∠PCD+∠QCE=90°，
∵∠PDC=90°，
∴∠PCD+∠P=90°，
∴∠QCE=∠P，
∵PC=CQ，∠QEC=∠PDC=90°，
∴△PDC≌△CEQ，
∴CE=PD=t，
∵OC=5，
∴OE=5-t；
（3）∵P（t，-2t+5），
∴OD=-2t+5，
∵OC=5，
∴CD=2t，
由（2）知△PDC≌△CEQ，
∴QE=CD=2t，
∵OE=5-t∴Q（-2t，5-t），
∵QE⊥OC，
∴∠CEM=90°，
∵∠ACO=45°，
∴∠CME=∠ACO=45°，
∴CE=EM=t，
∴M（t，5-t），
∵P（t，-2t+5），
∴PM∥y轴，N（t，0），PM=（5-t）-（-2t+5）=t，
∵G是BM的中点，
∴BG=GM，
∵QE⊥OC，
∴∠QEC=∠BOC=90°，
∴QM∥BN，
∴∠QMB=∠HBM，
∵∠BGH=∠MGQ，
∴△QGM≌△HGB，
∴BH=QM=2t+t=3t，
∵B点与A点关于y轴对称，A点的坐标为（5，0），
∴B（-5，0），
∵N（t，0），
∴NB=t+5，
∴HN=5-2t，
∵QM=6HN，
∴3t=6（5-2t），
∴t=2，
∴PM=2．
点评 本题考查的是几何变换的综合应用，掌握轴对称的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定定理额性质定理是解题的关键．
愉快的寒假南京出版社系列答案
将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是1．
| A． | 0.24×103 | B． | 2.4×106 | C． | 2.4×105 | D． | 24×104 |
如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）| A． | PC=PD | B． | OC=OD | C． | ∠CPO=∠DPO | D． | ∠CPD=∠DOC |
| A． | $sin{60°}=\frac{1}{2}$ | B． | $tan{60°}=\sqrt{3}$ | C． | $sin{45°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $cos{30°}=\frac{1}{2}$ |