Question

【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(﹣3，0)，B(0，3)．

（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；

（2）如图2，已知直线l2：y=3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．

①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①见解析，②存在，Q1（3–，6–3）和Q2（3+，6+3）

【解析】

（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，证明CE=ACsin45°=4×=2=圆的半径，即可求解；
（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．

证明：（1）如图1，连接BC，

∵∠BOC=90°，∴点P在BC上，

∵⊙P与直线l1相切于点B，

∴∠ABC=90°，而OA=OB，

∴△ABC为等腰直角三角形，

则⊙P的直径长=BC=AB=3；

（2）①过点C作CE⊥AB于点E，如图2.

将y=0代入y=3x–3，得x=1，

∴点C的坐标为（1，0）.∴AC=4，

∵∠CAE=45°，∴CE=AC=2，

∵点Q与点C重合，又⊙Q的半径为2，

直线l1与⊙Q相切.

②假设存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，

∵直线l1经过点A（–3，0），B（0，3），

∴l1的函数解析式为y=x+3．

记直线l2与l1的交点为F，

情况一：

当点Q在线段CF上时，由题意，得∠MNQ=45°，

延长NQ交x轴于点G，如图3，

∵∠BAO=45°，

∴∠NGA=180°–45°–45°=90°，

即NG⊥x轴，∴点Q与N有相同的横坐标，

设Q（m，3m–3），则N（m，m+3），

∴QN=m+3–（3m–3），

∵⊙Q的半径为2，

∴m+3–（3m–3）=2，解得m=3–，

3m–3=6–3，

∴Q的坐标为（3–，6–3）.

情况二：

当点Q在线段CF的延长线上时，如图4，

同理可得m=3+，

Q的坐标为（3+，6+3）.

∴存在这样的点Q1(3–，6–3)和Q2(3+，6+3)，使得△QMN是等腰直角三角形．