Question

已知在△OMN中，OM=ON，∠MON=90°，点B为MN的延长线上一点，OC⊥OB，且OC=OB，OG⊥BC于G，交MN于点A．
（1）如图1，①求证：∠CMB=90°；
②求证：AM²+BN²=AB²．
（2）如图2，在条件（1）下，过A作AE⊥OM于E，过B作BF⊥ON于F，EA、BF的延长线交于点P，则PA、AE、BF之间的数量关系为

 

，△AME、△PAB、△BFN的面积之间的关系为

 

．
（3）如图3，在条件（2）下，分别以OM、ON为x轴和y轴建立坐标系，双曲线 经过点P，若 y=

k

x

经过点P，若MN=2

2

，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）①由等腰直角三角形的性质得到一对直角相等，再利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形MOC与三角形NOB全等，利用全等三角形对应角相等得到∠MCO=∠NBO，根据三角形BOD为直角三角形，等量代换即可得证；②连接AC，由三角形MCO与三角形NBO全等，利用全等三角形对应边相等得到BN=CM，在直角三角形AMC中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；
（2）AP²=AE²+BF²，理由为：由题意得到三角形MEA与三角形NFB都为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可得证；根据题意得到S_△BFN+S_△AME=S_△PAB；
（3）由三角形MON为等腰直角三角形，根据MN的长，利用勾股定理求出OM与ON的长，设P（x，y），x＞0，y＞0，进而表示出AE=ME=2-x，BF=y-2，PA=y-（2-x），根据AP²=AE²+BF²，得到xy的值，即为k的值．

解答：（1）①证明：∵∠MON=∠BOC=90°，
∴∠MON-∠CON=∠COB-∠CON，即∠MOC=∠NOB，
在△MOC和△NOB中，

OM=ON ∠MOC=∠NOB OC=OB

，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴∠MCO=∠NBO，
在△OBD中，∠ODB+∠NBO=90°，∠ODB=∠MDC，
∴∠MDC+∠MCO=90°，
则∠CMB=90°；
②证明：连接CA，如图所示，
由△MOC≌△NOB，得到BN=CM，
∵△COB为等腰直角三角形，OG⊥BC，
∴AB=AC，
在Rt△CMA中，利用勾股定理得：AM²+CM²=AC²，
∴AM²+BN²=AB²；
（2）解：∵△MON为等腰直角三角形，
∴∠M=45°，
∵AE⊥ON，BF⊥ON，
∴∠MAE=45°，∠B=∠FNB=45°，
∴△MEA和△NFB都为等腰直角三角形，
∴AE²=

1

2

AM²，BF²=

1

2

BN²，
∴AE²+BF²=

1

2

（AM²+BN²）=

1

2

AB²，
∵AP²=

1

2

AB²，
∴AP²=AE²+BF²；
根据题意得：S_△BFN+S_△AME=S_△PAB；
故答案为：AP²=AE²+BF²；S_△BFN+S_△AME=S_△PAB；
（3）解：∵MN=2

2

，△OMN为等腰直角三角形，
∴OM=ON=2，
设P（x，y），x＞0，y＞0，
则AE=ME=2-x，BF=y-2，PA=y-（2-x），
根据AP²=AE²+BF²，得到（x+y-2）²=（2-x）²+（y-2）²，
整理得：xy=2，
则k=xy=2．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．