Question

已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．
（1）求证：∠DAC=∠B；
（2）猜想线段AF、BC的关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由题意可以作辅助线即作DG⊥AC的延长线于G，然后根据平行线的性质可以推出结论；
（2）在第一问的基础上来由三角形的全等可以得到关系．

解答：（1）证明：如图所示：作DG⊥AC的延长线于G
∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，
∴∠CAE=180°-∠ACB=90°，∠B=∠BAE，
∴∠DAC=90°-∠BAC=∠BAE，
∴∠DAC=∠B；
（2）解：∵AG⊥DG，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
在△ADG和△ABC中，

∠AGD=∠ACB   ∠DAG=∠B   AD=AB

，
∴△ADG≌△ABC（AAS），
∴DG=AE；AG=BC，
在△AEF和△GDF中，

∠DFG=∠EFA   ∠EAF=∠DGC   DG=AE

，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴AF=GF=

1

2

AG=

1

2

BC，
∴BC=2AF．

点评：该题目考查了三角形的全等判定和性质、平行线的性质，关键是构造全等的三角形．