Question

4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，S_ABCD=8cm²，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于8cm．

Answer 1

分析 先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形，然后求得周长即可．

解答 如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形，
∵AC⊥BD，AC=BD，S_ABCD=8cm²，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=8，
解得：AC=BD=4，
∴EH=HG=2，
∴四边形EFGH的周长为8cm，
故答案为：8cm．

点评 本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．