Question

12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过AD的中点O作EF⊥AD，分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．
（1）判断四边形AFDE是什么四边形？请说明理由；
（2）若BD=8，CD=3，AE=4，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由于O是AD的中点，且EF⊥AD，所以AE=DE，AF=DF，由于AD平分∠BAC，所以∠EAO=∠FAO=90°，从易证AE=AF=DF=DE，所以四边形AEDF是菱形．
（2）由DE∥AC可知△BDE∽△BCA，从而可知$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}$，代入数据即可求出AC的长度，从而可知CF的长度．

解答 （1）证明：∵O是AD的中点，且EF⊥AD，
∴AE=DE，AF=DF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO=∠FAO，
∵∠EOA=∠FOA=90°，
∴∠OEA=∠OFA，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DF=DE，
∴四边形AEDF是菱形． 

（2）∵四边形AEDF是菱形，
∴DE∥AC．
∴△BDE∽△BCA．
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{4}{AC}$=$\frac{8}{3+8}$
∴AC=$\frac{11}{2}$
∴CF=AC-CF=$\frac{3}{2}$

点评 本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质，垂直平分线的判定，菱形的性质与判定，综合程度较高，属于中等题型．