Question

15．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形④S_{四边形ABMD}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AM²．
其中正确结论的是①②③④．

Answer 1

分析 先证明△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，再求出DF=CE，然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；
根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠EDC，由三角形的外角性质求出∠DMF=∠BDC=60°，再求出∠BMD=120°，从而判定②正确；
根据三角形的外角性质和平行线的性质求出∠ABM=∠ADH，由SAS证明△ABM≌△ADH，根据全等三角形的性质得出AH=AM，∠BAM=∠DAH，然后求出∠MAH=∠BAD=60°，从而判定出△AMH是等边三角形，得出③正确；
根据全等三角形的面积相等可得△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，然后判定出④正确．

解答 解：在菱形ABCD中，
∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，
∵BE=CF，
∴BC-BE=CD-CF，
即CE=DF，
在△BDF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=DF}&{\;}\\{∠BDF=∠C=60°}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①正确；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，
∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°，故②正确；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，
∴∠DEB=∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在△ABM和△ADH中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ADH=∠ABM}&{\;}\\{DH=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，
∴△AMH是等边三角形，故③正确；
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，
又∵△AMH的面积=$\frac{1}{2}$AM•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AM²，
∴S_{四边形ABMD}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AM²，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，题目较为复杂，特别是图形的识别有难度，从图形中准确确定出全等三角形并找出全等的条件是解题的关键．