Question

19．函数y=x²+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论①b^2-4c≥0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x²+（b-1）x+c＜0．其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由抛物线与x轴没有交点，即可得出方程x²+bx+c=0没有实数根，利用根的判别式即可得出△=b^2-4c＜0，结论①不符合题意；②将点（1，1）代入抛物线解析式即可得出b+c=0，结论②不符合题意；③将（0，3）、（3，3）代入抛物线解析式求出b=-3、c=3，由此可得出3b+c+6=0，结论③符合题意；④观察两函数图象的上下位置关系即可得出当1＜x＜3时，x²+（b-1）x+c＜0，结论④符合题意．综上即可得出结论．

解答 解：①∵抛物线y=x²+bx+c与x轴没有交点，
∴方程x²+bx+c=0没有实数根，
∴△=b^2-4c＜0，结论①不符合题意；
②∵抛物线y=x²+bx+c过点（1，1），
∴1=1+b+c，
∴b+c=0，结论②不符合题意；
③∵抛物线y=x²+bx+c过点（0，3）和（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9+3b+c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴3b+c+6=0，结论③符合题意；
④观察函数图象可知：当1＜x＜3时，函数y=x²+bx+c的图象在直线y=x的下方，
∴x²+bx+c＜x，即x²+（b-1）x+c＜0，
∴结论④符合题意．
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式以及函数的图象，逐一分析说四个结论的正误是解题的关键．