Question

6．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=12，DE=4，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明即可；
（2）首先证明△AEF是等腰三角形，求出AE的长即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABF}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）∵BC=12，
∴AD=12，
在Rt△ADE中，DE=4，AD=12，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}$AE²=$\frac{1}{2}$×160=80．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．