Question

9．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴和y轴分别交于A、B两点，与直线OC交于点C，点C的纵坐标为1，OA=OB，△OAC的面积为$\frac{3}{2}$．
（1）求C点的横坐标；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P从点O出发沿线段OD以每秒1个单位的速度向终点D动，过点P作x轴的垂线分别与直线AB、OC交与E、F两点，设点P运动的时间为t（秒），线段EF的长为d，△ECF的面积为$\frac{3}{4}$（t-2）²，用含t的代数式表示d，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△EFQ为等腰直角三角形？若存在，求满足条件t的值，并直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由C的纵坐标及三角形OAC的面积求出OA的长，进而得出OB的长，确定出A与B的坐标，得出直线AB解析式，把C的纵坐标代入求出横坐标，即可确定出C的坐标；
（2）由C的坐标确定出直线OC的解析式，根据P的坐标表示出E与F坐标，即可得出d与t的关系式；
（3）在y轴上存在点Q使得△EFQ为等腰直角三角形，分三种情况考虑：①当Q为等腰直角三角形直角顶点时，EQ=FQ，EF为斜边；②当E为等腰直角三角形直角顶点时，EQ=EF=t；③当F为等腰直角三角形的直角顶点时，则FQ=EF=t，分别求出Q坐标即可．

解答 解：（1）∵C的纵坐标为1，S_△OAC=$\frac{1}{2}$OA•C_纵坐标=$\frac{3}{2}$，
∴OA=3，
∴OB=OA=3，
∴A（3，0），B（0，3），
∴直线AB的斜率为-1，解析式为y=-x+3，
把y=1代入得：x=2，
则C（2，1）；
（2）由（1）得：直线AB解析式为y=-x+3，
∵C（2，1），
∴直线OC的斜率为$\frac{1}{2}$，即解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∵P（t，0），∴E、F点的横坐标为t，
∴E点纵坐标为-t+3，F点纵坐标为$\frac{1}{2}$t，
则d=-t+3-$\frac{1}{2}$t=-$\frac{3}{2}$t+3（0≤t≤2）；
（3）在y轴上存在点Q使得△EFQ为等腰直角三角形，
①当Q为等腰直角三角形直角顶点时，EQ=FQ，EF为斜边，
∵直线AB与坐标轴的夹角为45°，
∴EQ=BE=$\sqrt{2}$t，
∴Q（0，3-2t），F（t，3-2t），
∵F在直线CD上，
∴3-3t=$\frac{1}{2}$t，
解得：t=$\frac{6}{7}$，
此时Q（0，$\frac{9}{7}$）；
②当E为等腰直角三角形直角顶点时，EQ=EF=t，
可得t=-$\frac{3}{2}$t+3，
解得：t=$\frac{6}{5}$，
此时Q（0，$\frac{9}{5}$）；
③当F为等腰直角三角形的直角顶点时，则FQ=EF=t，
可得t=-$\frac{3}{2}$t+3，
解得：t=$\frac{6}{5}$，
此时Q（0，$\frac{3}{5}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．