Question

11．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
（1）E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=3CD，求∠A的大小．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠1，根据三角形的中位线的性质得到OE∥AD，得到∠2=∠3，根据全等三角形的性质得到∠OCE=∠ABD=90°，于是得到CE是⊙O的切线；
（2）由AB为⊙O的直径，得到BC⊥AD，根据相似三角形的性质得到BC²=AC•CD，得到tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵AO=OB，E为BD的中点，
∴OE∥AD，
∴∠1=∠3，∠A=∠2，
∴∠2=∠3，
在△COE与△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠2=∠3}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE=∠ABD=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
∴BC²=AC•CD，
∵AC=3CD，
∴BC²=$\frac{1}{3}$AC²，
∴tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．