Question

1．关于x的方程x²-（2k-1）x+k²-2k+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁、x₂，存不存在这样的实数k，使得|x₁|-|x₂|=$\sqrt{5}$？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；
（2）由韦达定理知x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²-2k+3=（k-1）²+2＞0，将原式两边平方后把x₁+x₂、x₁x₂代入得到关于k的方程，求解可得．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2k-1）]²-4（k²-2k+3）=4k-11＞0，
解得：k＞$\frac{11}{4}$；

（2）存在，
∵x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²-2k+3=（k-1）²+2＞0，
∴将|x₁|-|x₂|=$\sqrt{5}$两边平方可得x₁²-2x₁x₂+x₂²=5，即（x₁+x₂）2-4x₁x₂=5，
代入得：（2k-1）²-4（k²-2k+3）=5，
解得：4k-11=5，
解得：k=4．

点评 本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．