Question

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax²（a＜0）的图象上，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC=45°，过点B作BD⊥x轴于D，然后求出∠BOD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=

1

2

OB，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．

解答：解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC=45°，OB=1×

2

=

2

，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD=45°-15°=30°，
∴BD=

1

2

OB=

2

2

，
OD=

( 2 )2-( 2 2 )2

=

6

2

，
∴点B的坐标为（

6

2

，-

2

2

），
∵点B在抛物线y=ax²（a＜0）的图象上，
∴a（

6

2

）²=-

2

2

，
解得a=-

2

3

．
故答案为：-

2

3

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°，然后求出点B的坐标是解题的关键．