Question

如图，在边长为6的菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，并且点E是AB的中点，点F在线段AC上运动，则EF+FB的最小值是

 

，最大值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：

分析：根据菱形的性质可得点B、D关于AC对称轴，连接DF，则BF=DF，从而得到EF+FB=ED+FD，从而得到点D、E、F三点共线时，EF+FB最小，点F与点C重合时，EF+FB最大，利用勾股定理列式求出DE即可，再根据两直线平行，内错角相等求出∠CDE=90°，利用勾股定理列式求出CE，然后求出最大值即可．

解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴点B、D关于AC对称轴，
连接DF，则BF=DF，
所以，EF+FB=EF+FD，
所以，点D、E、F三点共线时，EF+FB最小，点F与点C重合时，EF+FB最大，
∵菱形的边长为6，DE⊥AB于点E，点E是AB的中点，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
∴DE=

62-32

=3

3

，
即EF+FB的最小值是3

3

；
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠AED=90°，
由勾股定理得，CE=

(3 3 )2+62

=3

7

，
∴EF+FB的最大值是3

7

+6．
故答案为：3

3

；3

7

+6．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的对称性得到EF+FB=ED+FD是解题的关键．