Question

8．如图1在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且∠ABC=45°．
（1）求a的值；
（2）如图2，点D在线段BC上（不与C重合），当AD=AC时，求D点坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，E为抛物线上一点，且在第一象限，过E作EF∥AD与AC相交于点F，当EF被BC平分时，求点E坐标．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线解析式求出点AB坐标，利用等腰直角三角形性质求出C点坐标，代入抛物线即可求出a值；
（2）由B、C点坐标可得出直线BC的解析式，设出D点坐标（m，-m+3），由两点间的距离公式可表示出AD的长度，再由AC=AD找出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，代入到D点坐标中即可得出结论．
（3）由A、D点坐标可得出直线AD的解析式，由EF平行AD设出直线EF的解析式，代入到抛物线中可得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出两根之和，再由直线EF和BC的解析式可找出交点的坐标，根据EF被BC平分，可知交点的横坐标的2倍为前面一元二次方程的两根之和，解方程即可得出直线EF的解析式，从而得出点E的坐标．

解答 解（1）抛物线y=a（x+1）（x-3），
令y=0，则有a（x+1）（x-3）=0，
解得：x=-1，或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵∠ABC=45°，∠BOC=90°，
∴OB=OC=3，
∴C（0，3），
将点C（0，3）代入二次函数解析式得：
3=a×（0+1）×（0-3），
解得：a=-1．
（2）∵点A（-1，0），点C（0，3），点B（3，0），
∴AC=$\sqrt{10}$，
又∵∠ABC=45°，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设点D的坐标为（m，-m+3），
由两点间的距离公式可知：AD=$\sqrt{[m-（-1）]^{2}+（-m+3）^{2}}$，
∵AD=AC=$\sqrt{10}$，
∴有$\sqrt{[m-（-1）]^{2}+（-m+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得：m=0（舍去），m=2，
此时-m+3=-2+3=1．
故当AD=AC时，D点坐标为（2，1）．
（3）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（-1，0），D（2，1）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$．
∵EF∥AD，
∴设直线EF的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+c．
令-x+3=$\frac{1}{3}$x+c，则有x=$\frac{3}{4}$（3-c）．
将y=$\frac{1}{3}$x+c代入y=-1（x+1）（x-3）中，得
${x}^{2}-\frac{5}{3}x$-（3-c）=0，
由根与系数的关系可知：x₁+x₂=-$\frac{-\frac{5}{3}}{1}$=$\frac{5}{3}$．
∵EF被BC平分，
∴EF与BC的交点的横坐标为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
即$\frac{3}{4}$（3-c）×2=$\frac{5}{3}$，解得：c=$\frac{17}{9}$．
解方程${x}^{2}-\frac{5}{3}x$-（3-$\frac{17}{9}$）=0，得：x₁=$\frac{5-\sqrt{65}}{6}$，x₂=$\frac{5+\sqrt{65}}{6}$．
∵点E在第一象限，
∴点E的横坐标为$\frac{5+\sqrt{65}}{6}$．
将x=$\frac{5+\sqrt{65}}{6}$代入y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{17}{9}$中得，y=$\frac{39+\sqrt{65}}{18}$．
∴点E的坐标为（$\frac{5+\sqrt{65}}{6}$，$\frac{39+\sqrt{65}}{18}$）．

点评 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及根与系数的关系，解题的关键：（1）找出C点的坐标；（2）用含m的代数式表示AD的长度；（3）由根与系数的关系结合中点坐标找出关于c的一元一次方程．本题属于中档题，（1）（2）没有难度；（3）难度不小，由于数据较大，带来运算的麻烦．解决该类题型时，联立直线与二次函数的关系式，利用根与系数的关系来表示出两根之和能给解题带来极大的方便．