Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=6，AB=8，BC=10，直线EF从AD出发，以每秒1个单位的速度向BC运动，并始终保持与AD平行，交AB于点E，交DC于点F，同时点P从点C出发，沿CB方向以每秒2个单位的速度向点B运动．当点P运动到点B时停止运动，直线EF也随之停止运动；连接PE，设运动时间为t秒（0≤t≤5），解答以下问题：
（1）当t为何值时，△BEP是等腰直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使PE∥CD？
（3）连接PF，设△PEF的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使△PEF的面积是梯形面积的

1

4

？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据题意得到AE=t，PC=2t，BE=AB-AE=8-t，BP=BC-PC=10-2t，由于∠B=90°，根据等腰三角形的判定，当BE=BP时，△BEP是等腰直角三角形，则有8-t=10-2t，然后解方程求出t的值；
（2）作DH⊥BC于H，交EF于G，如图，先根据矩形的性质得DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，则CH=BC-BH=4，再证明△DGF∽△DHC，利用相似比得到∴GF=

1

2

t，则EF=6+

1

2

t，根据平行四边形的判定，由于EF∥PC，则当EF=PC时，四边形EPCF为平行四边形，根据平行四边形的性质有PE∥CD，所以得到6+

1

2

t=2t，然后解方程求出t的值；
（3）由（2）得到EF=6+

1

2

t，BE=8-t，然后根据三角形面积公式求解；
（4）当△PEF的面积是梯形面积的

1

4

时，根据（3）的结论得到-

1

4

t²-t+24=

1

4

×

1

2

×（6+10）×8，然后解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．

解答：解：（1）∵AE=t，PC=2t，
∴BE=AB-AE=8-t，BP=BC-PC=10-2t，
当BE=BP时，△BEP是等腰直角三角形，则8-t=10-2t，解得t=2，
即当t=2时，△BEP是等腰直角三角；
（2）存在．
作DH⊥BC于H，交EF于G，如图，则DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，
所以CH=BC-BH=4，
∵GF∥BC，
∴△DGF∽△DHC，
∴

GF

HC

=

DG

DH

，即

GF

4

=

t

8

，
∴GF=

1

2

t，
∴EF=EG+GF=6+

1

2

t，
∵EF∥PC，
∴当EF=PC时，四边形EPCF为平行四边形，则有PE∥CD，
即6+

1

2

t=2t，解得t=4，
即当t=4时，使PE∥CD；
（3）∵EF=6+

1

2

t，BE=8-t，
∴S=

1

2

•（6+

1

2

t）（8-t）
=-

1

4

t²-t+24（0≤t≤5）；
（4）存在．
当△PEF的面积是梯形面积的

1

4

时，则-

1

4

t²-t+24=

1

4

×

1

2

×（6+10）×8，
整理得t²+4t-32=0，
解得t₁=4，t₂=-8（舍去），
所以存在t=4，使△PEF的面积是梯形面积的

1

4

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质、等腰直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质；会利用相似比和三角形面积公式进行计算．