Question

4．如图，在△ABC中，AC=8，AB=10，∠BAC=60°，⊙O与AB，AC都相切，与AB的切点为E．
（1）求⊙O的面积y关于EA的长x的函数表达式．
（2）当⊙O为△ABC的内切圆时，求x和y的值．
（3）P是⊙O上的动点，以AP为半径的⊙P分别交AB，AC于点F，G，连结FG．若EA=$\sqrt{3}$，求FG的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AO，OE，在Rt△AOE中，求出OE（用x的代数式表示），然后利用圆面积公式即可解决问题．
（2）如图2中，作CM⊥AB于M．首先求出BC，设AC，BC分别切⊙O于点F，G，由⊙O为△ABC的内切圆，设AF=AE=x，设CF=CG=a，BE=BG=b，列出方程组求解即可．
（3）如图3中，连接AO交⊙O于P，延长AO交⊙O于P₁，①当⊙P 的半径为AP时，GF的值最小，②当⊙P 的半径为AP₁时，G₁F₁的值最大，由①可知△G₁F₁A是等边三角形，利用△AFG是等边三角形即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，连接AO，OE，

∵⊙O与AB，AC都相切，∠BAC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵y=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²π=$\frac{π}{3}$x²；

（2）如图2中，作CM⊥AB于M．

在Rt△ACM中，∵∠CAM=60°，AC=8，∠AMC=90°，
∴∠ACM=30°，AM=$\frac{1}{2}$AC=4，BM=AB-AM=6，CM=4$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{C{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
设AC，BC分别切⊙O于点F，G，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AF=AE=x，设CF=CG=a，BE=BG=b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+a=8}\\{x+b=10}\\{a+b=2\sqrt{21}}\end{array}\right.$，
∴x=9-$\sqrt{21}$，
∴y=34π-6$\sqrt{21}$π；

（3）如图3中，连接AO交⊙O于P，延长AO交⊙O于P₁，

①当⊙P 的半径为AP时，GF的值最小，
∵∠CAB=60°，OE⊥AE，
∴∠OAB=∠OAC=30°，
∴AO=2OE，
∴AP=OP=PG=PF，
∴E、F重合，
∴AP垂直平分GF，
∴AG=AF，∵∠GAF=60°，
∴△AGF是等边三角形，
∵AE=$\sqrt{3}$，
∴AE=AG=GF=$\sqrt{3}$，
∴FG的最小值为$\sqrt{3}$．
②当⊙P 的半径为AP₁时，G₁F₁的值最大，由①可知△G₁F₁A是等边三角形，
∵AP₁=P₁G₁=P₁F₁=3，
∴G₁F₁=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴FG的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、切线长定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、三元一次方程组等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造直角三角形，学会利用特殊点解决最值问题，属于中考压轴题．