Question

20．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4$\sqrt{5}$，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）

• A． （1，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）
• D． （$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）

Answer 1

分析 如图，连接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．由四边形ABCD 是菱形，推出AC⊥OB，A、C关于对角线OB对称，推出PC=PC，推出PC+PD=PA+PD，所以当D、P、A共线时，PC+PD的值最小，求出直线OB与直线AD的交点即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥OB，A、C关于对角线OB对称，
∴PC=PC，
∴PC+PD=PA+PD，
∴当D、P、A共线时，PC+PD的值最小，
在Rt△OAK中，∵OK=2$\sqrt{5}$，OA=5，
∴AK=$\sqrt{O{A}^{2}-O{K}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵KH⊥OA，
∴KH=$\frac{OK•AK}{OA}$=2，OH=$\sqrt{O{K}^{2}-K{H}^{2}}$=4，
∴K（4，2），
∴直线OK的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{5}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{7}}\\{y=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，
∴OB与AD的交点P′（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$），
∴当点P与P′重合时，CP+DP最短时，点P的坐标为（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$），、
故选D．

点评 本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会构建一次函数解决交点问题，所以中考常考题型．