Question

【题目】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（　　）

A.7B.8C.9D.10

Answer 1

【答案】C

【解析】

连结AD，先证明E是AC的中点，可知EF、OF是△ABC的中位线，于是可求出AC及BC的长，再证明△CDA∽△CAB,根据相似的性质即可求出CD的长.

解：连结AD，如图，

∵∠BAC＝90°，AB为直径，

∴AC是⊙O的切线，

∵DE为⊙O的切线，

∴ED＝EA，

∴∠ADE＝∠2，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠1+∠ADE＝90°，∠2+∠C＝90°，

∴∠1＝∠C，

∴ED＝EC，

∴CE＝AE，

∵EF∥AB，

∴EF为△ABC的中位线，

∴BF＝CF，

而BO＝AO，

∴OF为△ABC的中位线，

∴OF∥AE，

∴AE＝OF＝7.5，

∴AC＝2AE＝15，

在Rt△ACD中，BC＝＝＝25，

∵∠DCA＝∠ACB，

∴△CDA∽△CAB，

∴＝，即＝，

∴CD＝9．

故选：C．