Question

【题目】如图，是的外接圆，是弦的中点，是外一点且，连接并延长交于点，交于点．

（1）求证：是的切线

（2）若的半径为6，求弦的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）9.6．

【解析】

（1）如下图，连接OB，根据点E是BC的中点，可推导得到∠BOE=∠A，从而得到∠BOE=∠PBC，最终得出∠OBE+∠PBC=90°；

（2）在Rt△OBD中，可求得OD的长，在△OBD中，分别以BD和OD为底求面积，根据面积相等得到BE的长.

（1）证明：如图，连接OB

∵E是弦BC的中点，

∴BE=CE，OE⊥BC，==

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°

∵∠PBC=∠A，

∴∠BOE=∠PBC

∴∠OBE+∠PBC=90°即BP⊥OB

∴BP是⊙O的切线

（2）解：∵OB=6，BD=8，BD⊥OB

∴OD==10

∵OBD的面积=OD·BE=OB·BD，

∴BE===4.8

∴BC=2BE=9.6