Question

17．如图所示，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，求这个六边形的周长．

Answer 1

分析 由于已知四条边的长度，所以问题实质上是求AF和EF，由于六边形每个内角相等，即每个角都是120度，分别过点B、D、F作三组对边的平行线，可得出三个平行四边形，同时三条线在六边形中间交出一个等边三角形，从而利用平行四边形和等边三角形的性质即可求出AF和EF．

解答 解：如图，作BK∥AF，DG∥EF，FH∥DE，
BK交DG于G，FH交BK于K，FH交DG于H，

∵六边形ABCDEF的六个内角都相等，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°，
∵AF∥BK，
∴∠ABK=180°-∠BAF=60°，
∴∠CBK=60°，
∴BK∥CD，
同理DG∥BC，FH∥AB，
∴ABKF、BCDG、HDEF均为平行四边形，
∴BG=DG=CD=BC=3，FH=DE=2，FK=AB=1，
∵∠CBK=60°，BCDG是平行四边形，
∴∠KGH=60°，
同理∠GHK=60°，
∴△GHK是等边三角形，
∴GK=GH=HK=FH-FK=DE-AB=1，
∴AF=BK=BG+GK=CD+GK=3+1=4，
EF=HD=DG-GH=3-1=2，
∴六边形ABCDEF的周长为AB+BC+CD+DE+EF+FA=1+3+3+2+2+4=15．

点评 本题主要考查了多边形的内角和性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，题目小而巧，是一道锻炼学生空间构思能力的好题．作出平行线构造出平行四边形和等边三角形是解答本题的关键所在．