Question

18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，G是△ABC的重心，连接AG，BG，CG
（1）当直角边AC的长度变化时，线段AG，BG，CG的长度是否随之变化？若有不变的，求出其中长度不变的线段的长；
（2）设AC=x，AG=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）△ACG是否能成为等腰三角形？若能，求出此时AC的长；若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据重心的特点，即可得出结论；
（2）利用重心特点，列出边与边的关系，结合勾股定理即可解决；
（3）假设成立，利用分类的方法分别讨论，可得出结论．

解答 解：（1）由三角形重心的特点可知，
G为三角形三条中位线的交点，且有CG=2GE，CG=$\frac{2}{3}$CE，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CG=2，
而随着直角边AC的长度变化时，线段AG，BG都会变化，
∴当直角边AC的长度变化时只有CG不变，且CG=2．
（2）延长AG交BC于点D，作图如下：

AC=x，AB=6，且∠ACB=90°，
由勾股定理，得BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
∵G是△ABC的重心，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
由勾股定理，得AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{36-{x}^{2}}{4}}$，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{x}^{2}+\frac{36-{x}^{2}}{4}}$=y，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴0＜x＜6，
故y=$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$（0＜x＜6）．
（3）假设△ACG能成为等腰三角形，
①当AC=AG时，有$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$=x，即x²=6，
解得，此时x=$\sqrt{6}$．
②当AC=CG时，
∵CG=2，0＜x＜6，
此时x=2．
③当AG=CG时，有$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$=2，即x²=0，
不符合，舍去．
综上，当AC长为2或者$\sqrt{6}$时，△ACG是等腰三角形．

点评 本题考查了三角形重心的特点，解题的关键是用好重心特点中边与边的关系．