Question

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置，则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再根据勾股定理求出AC的长度，然后根据中点定义求出DB、CE的长度，再利用勾股定理求出BE的长度，然后根据旋转变换的性质可得阴影部分的面积等于以BE为半径的扇形面积减去以DB为半径的扇形的面积，然后列式进行计算即可得解．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB=2，CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵旋转角度为120°，
∴阴影部分的面积=$\frac{60•π•B{E}^{2}}{360}$-$\frac{60•π•B{D}^{2}}{360}$=$\frac{7π-4π}{6}$=$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了扇形的面积计算，直角三角形的性质，旋转变换的性质，观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键．