Question

17．小明通过计算器计算发现下列等式：第1个：$\sqrt{2\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$；第二个：$\sqrt{3\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$；第三个：$\sqrt{4\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，…，根据上述规律，第n个等式$\sqrt{（n+1）\frac{n+1}{{n}^{2}+2n}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{n+1}{{n}^{2}+2n}}$．

Answer 1

分析 观察不难发现，分子与整数相同，分母是分子的平方减1，然后化简即可．

解答 解：∵3=2²-1，8=3²-1，15=4²-1，…，（n+1）²-1=n²+2n，
∴第n个等式为$\sqrt{（n+1）\frac{n+1}{{n}^{2}+2n}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{n+1}{{n}^{2}+2n}}$．
故答案为：$\sqrt{（n+1）\frac{n+1}{{n}^{2}+2n}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{n+1}{{n}^{2}+2n}}$．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，观察出分子、分母与整数的关系是解题的关键．