若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1.其顶点为A,二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2.其顶点为B．且满足点A在C2上.点B在C1上.则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数“(1)一个二次函数的“伴侣二次函数有无数个(2)①求二次函数y=x2+4x+3与x轴的交点, ②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+4x+3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．若二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁的图象记为C₁，其顶点为A；二次函数y=a₂x²+b₂x+c₂的图象记为C₂，其顶点为B．且满足点A在C₂上，点B在C₁上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数“
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个
（2）①求二次函数y=x²+4x+3与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x²+4x+3的“伴侣二次函数”．
（3）若二次函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁与其伴侣二次函数y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点不重合．则a₁与a₂之间是否存在某种数量关系？若存在．请写出探究过程．若不存在，请说明理由．

分析（1）根据“伴侣二次函数”的定义，可得答案；
（2）①解方程x²+4x+3=0，可得函数与x轴的交点的横坐标，进而可得答案；②根据“伴侣二次函数”，顶点坐标，可求解；
（3）根据“伴侣二次函数”的顶点在对方的图象上，列出二元一次方程组，根据题意并且解方程组，可得答案．

解答解：（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个．
故答案为无数；

（2）①令y=0，即x²+4x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=-3，
所以二次函数y=x²+4x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），（-1，0）；

②∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴顶点坐标为（-2，-1）．
设以（-3，0）为顶点且经过（-2，-1）的抛物线的函数关系式为
y=a（x+3）²，
将x=-2，y=-1代入y=a（x+3）²，解得a=-1．
∴二次函数y=x²+4x+3的一个“伴侣二次函数”为y=-（x+3）²=-x²-6x-9，
同理可求以（-1，0）为顶点且经过（-2，-1）的抛物线的函数关系式．
即二次函数y=x²+4x+3的另一个“伴侣二次函数”为y=-（x+1）²=-x²-2x-1；

（3）a₁=-a₂．理由如下：
设y=a₁（x+m）²+n，其顶点为（-m，n），y=a₂（x+h）²+k，其顶点为（-h，k），
∵二次函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁与其伴侣二次函数y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点不重合，
∴m=h时n≠k，或n=k时m≠h，或m≠h且n≠k．
根据“伴侣二次函数”定义可得
$\left\{\begin{array}{l}{k={a}_{1}（-h+m）^{2}+n}\\{n={a}_{2}（-m+h）^{2}+k}\end{array}\right.$，
∴当m=h时n=k，n=k时m=h，
∴m≠h且n≠k，
∵a₁（-h+m）²=-a₂（-m+h）²，m≠h，
∴a₁=-a₂．