Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，∠ACD=3∠BCD．求证：DE=DC．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：先求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE，根据等边对等角可得∠BCE=∠B，再求出∠DCE=45°，然后判断出△CDE是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质证明即可．

解答： 证明：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=90°×

1

1+3

=22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠B=67.5°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=67.5°-22.5°=45°，
又∵CD⊥AB，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=DC．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并求出∠DCE=45°是解题的关键．