Question

某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系式，并求出函数关系式；
（2）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）为了降低进货成本，团员利用销量确定货量，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据图象可以得出设y与x之间的函数关系为y=kx+b，直接运用待定系数法求出其解就可以了；
（2）根据条件建立不等式求出x的取值范围，再根据利润等于售价-进价表示出总利润，由二次函数的性质就可以求出结论；
（3）先根据条件建立一元二次不等式，求出一元二次不等式的解即可求出销售单价的范围．

解答： 解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，
图象过点（10，300），（12，240），

10k+b=300 12k+b=240

，
解得

k=-30 b=600

，
∴y=-30x+600，
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
即点（14，180），（16，120）均在函数y=-30x+600图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600；

（2）w=（x-6）（-30x+600）=-30x²+780x-3600，
即w与x之间的函数关系式为w=-30x²+780x-3600；

（3）由题意得：6（-30x+600）≤900，
解得x≥15．
w=-30x²+780x-3600图象对称轴为：x=-

b

2a

=-

780

2×(-30)

=13．
∵a=-30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x=15时，w_最大=1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用；解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．