Question

2．已知顶点为P的抛物线a：y=$\frac{1}{3}$（x+2）²上有一点A（1，3）．
（1）试写出抛物线a的顶点坐标和对称轴．
（2）将抛物线a沿着水平方向怎样平移才能得到抛物线b（要求抛物线b也经过A点）？
（3）在（2）中，抛物线b的顶点为B，抛物线a上的A点与抛物线b上的C点对应，求四边形APBC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式直接写出答案；
（2）设抛物线b的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+m）²，再把A点坐标代入得m=1或m=-4，则抛物线b的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-4）²，然后根据抛物线的平移规律求解；
（3）抛物线b的对称轴为直线x=4，B（4，0），则点C的坐标为（7，3），然后根据平行四边形的面积求解．

解答 解：（1）抛物线a的顶点P的坐标为（0，0），对称轴为直线x=-2；
（2）设抛物线b的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+m）²，
把A（1，3）代入得$\frac{1}{3}$（1+m）²=3，解得m=1或m=-4，
所以抛物线b的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-4）²，
所以将抛物线a沿着水平方向右平移6个单位才能得到抛物线b；
（3）抛物线b的对称轴为直线x=4，B（4，0），
所以点C的坐标为（7，3），
所以四边形APBC的面积=3×6=18．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．