Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=6，CD=AC=8，M、N分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：MN⊥AC．
（2）求MN的长．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AM、CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=CM=BM=DM=

1

2

BD，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；
（2）利用勾股定理类似求出BD，再求出AM、AN，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，连接AM、CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴AM=CM=BM=DM=

1

2

BD，
∵N是AC的中点，
∴MN⊥AC；

（2）解：∵∠BCD=90°，BC=6，CD=8，
∴BD=

BC2+CD2

=

62+82

=10，
∴AM=

1

2

×10=5，
∵AC=6，N是AC的中点，
∴AN=

1

2

×6=3，
∴MN=

AM2-AN2

=

52-32

=4．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记性质与定理并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．