Question

16．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程${x^2}-（2k+1）x+4（k-\frac{1}{2}）=0$的两个实数根，则△ABC的周长为10．

Answer 1

分析 首先判断出方程${x^2}-（2k+1）x+4（k-\frac{1}{2}）=0$的根的判别式非负；然后根据△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：（1）△=0时，方程有两个相同的实根，此时b=c；（2）△＞0时，方程有两个不同的实根，方程${x^2}-（2k+1）x+4（k-\frac{1}{2}）=0$其中的一个实根是4，据此求出b、c的长度各是多少；最后根据三角形的周长公式的求法，把三条边的长度求和，求出△ABC的周长为多少即可．

解答 解：方程${x^2}-（2k+1）x+4（k-\frac{1}{2}）=0$的根的判别式：
∴△=${[-（2k+1）]}^{2}-4×1×4（k-\frac{1}{2}）$
=4k²+4k+1-16k+8
=4k²-12k+9
=4${（k-\frac{3}{2}）}^{2}$
（1）当k=$\frac{3}{2}$时，△=0，方程有两个相同的实根，
∴b=c=$\frac{2×\frac{3}{2}+1}{2}$=2，
∵b+c=2+2=4=a，与三角形任意两边的和大于第三边矛盾；
∴b=c=2不满足题意；
（2）当k＞$\frac{3}{2}$时，△＞0，方程有两个不同的实根，
∵x=4是方程的一个实根，
∴${4}^{2}-（2k+1）×4+4（k-\frac{1}{2}）=0$，
∴k=2.5，
∴x²-6x+8=0，
解得x=2或x=4，
∴△ABC的周长为：
4+2+4=10．
故答案为：10．

点评 （1）此题主要考查了根的判别式，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要明确：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的含义以及求法的应用，以及一元二次方程的求解方法，要熟练掌握．