Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）BE•AC=AD•BC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到AD垂直与BC，再由AB=AC，利用三线合一性质即可得证；
（2）由圆周角定理得到一对角相等，再由一对公共角，得到三角形BEC与三角形ACD相似，由相似得比例，变形即可得证．

解答：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点；　
（2）∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴∠CBE=∠CAD，
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC　　　　
∴

BE

AD

=

BC

AC

，
∴BE•AC=AD•BC．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．