题目内容
如图，在平面直角系中，点A、B分别在x轴、y轴上，A（8，0），B（0，6），点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点A出发，沿AO以每秒1个单位的速度向点O运动，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示C点坐标；
（2）如图1，连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
（3）如图2，以QC为直径作⊙D，⊙D与AB的另一个公共点为E．问是否存在某一时刻t，使得以BC、CE、AE的长为边的三角形为直角三角形？若存在，直接写出一个符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
（1）用含t的代数式表示C点坐标；
（2）如图1，连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
（3）如图2，以QC为直径作⊙D，⊙D与AB的另一个公共点为E．问是否存在某一时刻t，使得以BC、CE、AE的长为边的三角形为直角三角形？若存在，直接写出一个符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质
专题：综合题,分类讨论
分析：（1）根据勾股定理可求出AB=10，易证△AQC∽△AOB，由此可用t的代数式表示出QC、OQ的长，从而解决问题．
（2）可分四种情况（图a、图b、图c、图d），只需用t的代数式表示出相关线段的长，然后建立方程，就可求出对应t的值．
（3）先用t的代数式表示出BC、CE、AE的长，可证AE＞CE，只需分两种情况（BC为斜边、AE为斜边）进行讨论，运用勾股定理建立方程，就可求出符合题意的t的值．
（2）可分四种情况（图a、图b、图c、图d），只需用t的代数式表示出相关线段的长，然后建立方程，就可求出对应t的值．
（3）先用t的代数式表示出BC、CE、AE的长，可证AE＞CE，只需分两种情况（BC为斜边、AE为斜边）进行讨论，运用勾股定理建立方程，就可求出符合题意的t的值．
解答：解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6．
∵∠AOB=90°，
∴AB=10．
∵QC⊥AO，
∴∠CQA=90°=∠BOA．
∴QC∥OB．
∴△AQC∽△AOB．
∴
=
=
．
∵OA=8，OB=6，AB=10，AQ=t，
∴
=
=
．
∴QC=
t，AC=
t．
∵OQ=OA-AQ=8-t，
∴点C的坐标为（8-t，
t）．
（2）①如图a，CP=CQ．
∵CP=AB-BP-AC=10-t-
t=10-
t，CQ=
t，
∴10-
t=
t．
解得：t=
．
②如图b，PC=PQ．
∵∠CQA=90°，
∴∠PCQ+∠QAC=90°，∠PQC+∠AQP=90°．
∵PC=PQ，
∴∠PCQ=∠PQC．
∴∠AQP=∠QAC．
∴PQ=PA．
∴PC=PA．
∴AC=2AP．
∵AC=
t，AP=10-t，
∴
t=2（10-t）．
解得：t=
．
③如图c，CQ=CP．
∵CQ=
t，CP=
t-（10-t）=
t-10，
∴
t=
t-10．
解得：t=
．
④如图d，QC=QP．
过点Q作QN⊥AC于点N，
则有PN=CN=
PC=
（
t-10）=
t-5．
∵QC∥OB，
∴∠QCN=∠OBA．
∵∠CNQ=∠BOA=90°，
∴△CNQ∽△BOA．
∴
=
．
∴CN•AB=OB•CQ．
∴（
t-5）×10=6×
t．
解得：t=
．
综上所述：当t取
或
或
或
时，△CPQ是等腰三角形．
（3）如图e，连接QE．
∵CQ是⊙D的直径，
∴∠CEQ=90°．
∴∠QEA=90°=∠BOA．
∵∠EAQ=∠OAB，
∴△QEA∽△BOA．
∴
=
．
∴AE=
t．
∴CE=AC-AE=
t-
t=
t，BC=10-
t．
∵
t=
t＞
t，∴AE＞CE．
∴CE不可能是斜边．
①BC为斜边，
则有BC2=CE2+AE2．
∴（10-
t）2=（
t）2+（
t）2．
整理得：18t2-625t+2500=0，
解得：t1=
，t2=
∵0≤t≤8，
∴t=
．
②AE为斜边，
则有AE2=CE2+BC2．
∴（
t）2=（
t）2+（10-
t）2．
整理得：9t2-200t+800=0．
解得：t3=
，t4=
．
∵0≤t≤8，
∴t=
．
综上所述：符合题意的t的值为
或
．
∴OA=8，OB=6．
∵∠AOB=90°，
∴AB=10．
∵QC⊥AO，
∴∠CQA=90°=∠BOA．
∴QC∥OB．
∴△AQC∽△AOB．
∴
| AQ |
| AO |
| QC |
| OB |
| AC |
| AB |
∵OA=8，OB=6，AB=10，AQ=t，
∴
| t |
| 8 |
| QC |
| 6 |
| AC |
| 10 |
∴QC=
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
∵OQ=OA-AQ=8-t，
∴点C的坐标为（8-t，
| 3 |
| 4 |
（2）①如图a，CP=CQ．
∵CP=AB-BP-AC=10-t-
| 5 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴10-
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
解得：t=
| 10 |
| 3 |
②如图b，PC=PQ．
∵∠CQA=90°，
∴∠PCQ+∠QAC=90°，∠PQC+∠AQP=90°．
∵PC=PQ，
∴∠PCQ=∠PQC．
∴∠AQP=∠QAC．
∴PQ=PA．
∴PC=PA．
∴AC=2AP．
∵AC=
| 5 |
| 4 |
∴
| 5 |
| 4 |
解得：t=
| 80 |
| 13 |
③如图c，CQ=CP．
∵CQ=
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∴
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
解得：t=
| 20 |
| 3 |
④如图d，QC=QP．
过点Q作QN⊥AC于点N，
则有PN=CN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 8 |
∵QC∥OB，
∴∠QCN=∠OBA．
∵∠CNQ=∠BOA=90°，
∴△CNQ∽△BOA．
∴
| CN |
| OB |
| CQ |
| AB |
∴CN•AB=OB•CQ．
∴（
| 9 |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
解得：t=
| 200 |
| 27 |
综上所述：当t取
| 10 |
| 3 |
| 80 |
| 13 |
| 20 |
| 3 |
| 200 |
| 27 |
（3）如图e，连接QE．
∵CQ是⊙D的直径，
∴∠CEQ=90°．
∴∠QEA=90°=∠BOA．
∵∠EAQ=∠OAB，
∴△QEA∽△BOA．
∴
| AE |
| OA |
| AQ |
| AB |
∴AE=
| 4 |
| 5 |
∴CE=AC-AE=
| 5 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 20 |
| 5 |
| 4 |
∵
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 20 |
| 9 |
| 20 |
∴CE不可能是斜边．
①BC为斜边，
则有BC2=CE2+AE2．
∴（10-
| 5 |
| 4 |
| 9 |
| 20 |
| 4 |
| 5 |
整理得：18t2-625t+2500=0，
解得：t1=
625-25
| ||
| 36 |
625+25
| ||
| 36 |
∵0≤t≤8，
∴t=
625-25
| ||
| 36 |
②AE为斜边，
则有AE2=CE2+BC2．
∴（
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 20 |
| 5 |
| 4 |
整理得：9t2-200t+800=0．
解得：t3=
100+20
| ||
| 9 |
100-20
| ||
| 9 |
∵0≤t≤8，
∴t=
100-20
| ||
| 9 |
综上所述：符合题意的t的值为
625-25
| ||
| 36 |
100-20
| ||
| 9 |
点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，另外还重点考查了分类讨论的数学思想，有一定的难度．
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