Question

19．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB为边向四边形外作Rt△ABE，使得∠BAE=90°，AB=mAE．F为线段AD上一点，AF=nFD．过点F作直线MN⊥BC于点G，过点E作EH⊥MN于点H．
（1）①请先用直尺和圆规在图2中补全m=1，n=1时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；
②再猜想并验证CD、EH和AD的关系．
（2）在图1中，猜想并验证m≠1时，线段CD、EH和AD的关系．

Answer 1

分析 （1）①作线段AD的垂直平分线FH，作AE⊥AB，使得AE=AB，作EH⊥FH即可．
②结论：EH-$\frac{1}{2}$AD=CD．首先证明△AEM≌△BAN，推出EM=AN，再证明四边形ANCD是矩形，四边形AFHM是矩形，推出AN=CD，AF=FD=HM即可解决问题．
（2）如图2中，结论：CD=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD）．作AN⊥BC于N交EH于M，易知四边形ANCD，四边形AMFH是矩形．只要证明△AEM∽△BAN，推出$\frac{AN}{EM}$=$\frac{AB}{AE}$=m，推出AN=mEM，推出CD=mEM=m（EH-AF）=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD），由此即可解决问题．

解答 解：（1）①m=1，n=1时的图形如图所示．

②结论：EH-$\frac{1}{2}$AD=CD．
理由：作AN⊥BC于N交EH于M．
∵EH⊥HF，AD⊥FH，
∴EH∥AD∥CB，
∵AN⊥CB，
∴MN⊥EH，
∴∠EAB=∠EMA=∠ANB=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠BAN=90°，
∴∠AEM=∠BAN，
在△AEM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠ANB}\\{∠AEM=∠BAN}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△BAN，
∴EM=AN，
∵∠C=∠D=∠ANC=90°，
∴四边形ANCD是矩形，同理可证四边形AFHM是矩形，
∴EM=AN=CD，HM=AF，
∴EH-$\frac{1}{2}$AD=EH-AF=EH-MH=EM=AN=CD，
∴EH-$\frac{1}{2}$AD=CD．

（2）如图2中，结论：CD=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD）．
理由：作AN⊥BC于N交EH于M，则四边形ANCD，四边形AMFH是矩形．

∵AF=nDF，
∵AF=$\frac{n}{n+1}$AD，
∵∠AEM=∠BAN，∠AME=∠ANB=90°，
∴△AEM∽△BAN，
∴$\frac{AN}{EM}$=$\frac{AB}{AE}$=m，
∴AN=mEM，
∵AF=MH，AN=CD，
∴CD=mEM=m（EH-AF）=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD），
∴CD=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD）．

点评 本题考查相似三角形综合题、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．