如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为(3.0).B为直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的一个动点.延长AB至C.使得AB=BC.过点C作CD⊥x轴于点D.交直线OB于点F.过点A作AE∥OB.交直线CD于点E．(1)求直线AE的解析式,(2)在点B的运动过程中.线段CF的长是否发生改变?若不变.请求出线段CF的长,若改变.请说明理由,(3)若AD=EF.点D在点A的右� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），B为直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的一个动点，延长AB至C，使得AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线OB于点F，过点A作AE∥OB，交直线CD于点E．
（1）求直线AE的解析式；
（2）在点B的运动过程中，线段CF的长是否发生改变？若不变，请求出线段CF的长；若改变，请说明理由；
（3）若AD=EF，点D在点A的右侧，直接写出tan∠CAD的值；
（4）连接BE，在点B的运动过程中，是否存在点E，使△ABE为直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据两直线平行k相同，利用待定系数法即可解决问题；
（2）在点B运动过程中，线段CF的长不发生变化．过点A作AG⊥OA，交OB于G．只要证明△ABG≌△CBF，即可推出CF=AG=$\sqrt{3}$；
（3）求出AD、CD，根据tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$计算即可；
（4）存在．由AB=BC，BF∥AE可知BF是△AEC的中位线，推出AE=2BF，EF=CF=$\sqrt{3}$，分三种情形讨论即可：①若BE⊥AE，如图1中，则BE⊥BF．②若AB⊥BE，如图2中．③若AB⊥AE，如图3中．分别求解即可；

解答解：（1）∵AE∥OB，直线OB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴可以假设直线AE的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把A（3，0）代入得到b=-$\sqrt{3}$，
∴直线AE的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．

（2）在点B运动过程中，线段CF的长不发生变化．
过点A作AG⊥OA，交OB于G．

∵点A（3，0），
∴点G的横坐标为3，
将x=3代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得到y=$\sqrt{3}$，
∴AG=$\sqrt{3}$，
∵AG∥CD，B为AC中点，
∴∠AGB=∠CFB，∠BAG=∠BCF，AB=BC，
∴△ABG≌△CBF，
∴CF=AG=$\sqrt{3}$．

（3）由（2）可知tan∠GOA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EAD=∠GOA=30°，
∵EF=AG=AD=CF=$\sqrt{3}$，
∴ED=AD•tan30°=1，
∴CD=1+2$\sqrt{3}$
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{6+\sqrt{3}}{3}$．

（4）存在．
由AB=BC，BF∥AE可知BF是△AEC的中位线，
∴AE=2BF，EF=CF=$\sqrt{3}$，
①若BE⊥AE，如图1中，则BE⊥BF，CF=EF=$\sqrt{3}$

∵∠BFE=60°，
∴BF=EF•cos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，ED=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{3}{2}$，此时E（$\frac{9}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
②若AB⊥BE，如图2中，CF=EF=$\sqrt{3}$

易知BF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{3}$，AD=3，此时E（6，$\sqrt{3}$）．
③若AB⊥AE，如图3中，CF=$\sqrt{3}$，∠C=30°，

易知BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，ED=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{3}{2}$，此时E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
综上所述，满足条件的点E坐标为（$\frac{9}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（6，$\sqrt{3}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．