Question

18．如图1，正方形OABC的边长为2，点C在y轴上，点A在x轴上，经过原点O且不与坐标轴重合的直线l交对角线AC于点D，过D作OD的垂线，与直线AB相交于点E．
（1）当△OCD≌△DAE时，求出CD的长；
（2）通过动手测量线段OD和DE的长来判断他们之间的大小关系，并证明你得到的结论；
（3）现将直线1绕O点旋转，使交点D在AC的延长线上，如图2：
①试判断OD=DE是否成立？并证明你的结论；
②是否存在直线l，使△ADE为等腰三角形？若存在，求出l的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性质得出AC=2$\sqrt{2}$，由三角形全等得出AD=OC=2，即可；
（2）构造全等三角形，判断出∠ODN=∠EDM，由正方形的性质得出DM=DN，即可；
（3）①同（2）的判断方法；
②分三种情况判断求解，利用等腰三角形的性质和正方形的性质，得出∠AOD即可．

解答 解：（1）∵△OCD≌△DAE，
∴AD=OC=2，
∵AC是正方形的对角线，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∴CD=AC-AD=2$\sqrt{2}$-2；
（2）OD=ED，
理由：如图1，

过点D作DM⊥AB，DN⊥OA，
∴∠AMD=∠AND=90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴∠MDN=90°，
∵DE⊥OD，
∴∠ADO=90°，
∴∠ODN=∠EDM，
∵点D是正方形对角线上一点，DM⊥AB，DN⊥OA，
∴DM=DN，
在△OND和△EMD中$\left\{\begin{array}{l}{∠ODN=∠EDM}\\{DN=DM}\\{∠DNO=∠DME}\end{array}\right.$，
∴△OND≌△EDM，
∴OD=ED，
（3）①OD=DE成立，理由：
如图2，

过点D作DM⊥AB，DN⊥OA，
∴∠AMD=∠AND=90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴∠MDN=90°，
∵DE⊥OD，
∴∠ADO=90°，
∴∠ODN=∠EDM，
∵点D是正方形对角线上一点，DM⊥AB，DN⊥OA，
∴DM=DN，
在△OND和△EMD中$\left\{\begin{array}{l}{∠ODN=∠EDM}\\{DN=DM}\\{∠DNO=∠DME}\end{array}\right.$，
∴△OND≌△EDM，
∴OD=ED，
②存在，
Ⅰ、当ED=EA时，
∴∠EDA=∠EAD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴DE∥BC，
∵BC⊥OC，
∴DE⊥OC，
∴直线l和y轴重合，
∵l不与坐标轴重合，
∴此种情况不存在；
Ⅱ、当AE=AD时，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=67.5°，
∵DE⊥l，
∴∠ADO=22.5°，
∵∠OAC=45°，
∴∠DON=67.5°，
∵tan∠DON=$\frac{DN}{ON}$=$\sqrt{2}$+1，
∴直线l解析式为y=-（$\sqrt{2}$+1）x；
Ⅲ、当AD=DE时，
∵OD=DE，
∴OD=AD，
∵∠OAD=45°，
∴∠AOD=45°，
∴直线l解析式为y=x．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解本题的关键是构造全等三角形，难点是求直线l的解析式．