Question

5．已知反比例函数y=$\frac{m-5}{x}$的图象的一支位于第二象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点M在该反比例函数位于第二象限的图象上，点N与点M关于x轴对称，若△OMN的面积为6，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当2＜MN＜4时，求线段OA的取值范围（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的性质可得：双曲线的两支分别位于第一、第三象限时，m-5＜0，再解即可；
（2）设M$（{a，\frac{m-5}{a}}）$，根据点N与点M关于x轴对称，可得N$（{a，-\frac{m-5}{a}}）$．然后表示出MN的长，再根据三角形的面积公式可得$\frac{1}{2}•（{-a}）•\frac{{2（{m-5}）}}{a}=6$，再解即可；
（3）首先计算出当MN=2时AO的值，再计算出当MN=4时AO的值，然后可得答案．

解答 解：（1）∵反比例函数$y=\frac{m-5}{x}$的图象的一支位于第二象限，
∴该函数图象的另一支位于第四象限．
∴m-5＜0，解得m＜5．
∴m的取值范围为m＜5．

（2）设M$（{a，\frac{m-5}{a}}）$，
∵点N与点M关于x轴对称，
∴N$（{a，-\frac{m-5}{a}}）$．
∴MN=$\frac{m-5}{a}$-（-$\frac{m-5}{a}$）=$\frac{2（m-5）}{a}$，
OA=|a|=-a，
∴$\frac{1}{2}$×（-a）×$\frac{2（m-5）}{a}$=6，
解得：m=-1；

（3）当MN=2时，$\frac{1}{2}$×MN×AO=6，则AO=6，
当MN=4时，$\frac{1}{2}$×MN×AO=6，则AO=3，
∴当2＜MN＜4时，则3＜OA＜6．

点评 此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握（1）反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．正确表示出M、N的坐标，MN的长．