Question

【题目】如图，抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；

（3）在抛物线上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t的值为；（3）x的取值范围是或．

【解析】

（1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A（-1，0）点，∴

，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5，（-1＜x＜5），新图象与直线y=t恒有四个交点，则0＜t＜9，由

解得：解得，，即可求解；
（3）分m、n在函数对称轴左侧、m、n在对称轴两侧、m、n在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．

（1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A(-1，0)点，∴，解得：，

∴抛物线的函数表达式为：；

（2）解：∵，∴x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：=(-1＜x＜5)，其顶点为(2，9)．

∵新图象与直线y=t恒有四个交点，∴0＜t＜9．

设E(x1，y1)，F(x2，y2)．

由得，

解得，

∵以EF为直径的圆过点Q(2，1)，∴，

即，解得．

又∵0＜t＜9，∴t的值为；

（3）x的取值范围是：或．