题目内容
18．
如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a，c的值；
（2）连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，易求得OA的长，即可求得点A，B，C的坐标，然后由待定系数法求得答案；
（2）首先求得直线AB的函数表达式，设顶点F的坐标为（m，m+2），由抛物线过点C （2，0），可求得平移后的抛物线函数表达式，继而求得点E的坐标，即可判定△OEF是等腰三角形；
（3）分别情形一：从点Q在射线HF上，当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，以及情形二：点Q在射线AF上，去分析求解即可求得答案．
解答 解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=$\frac{1}{2}$BC．
又∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC×OA=4，即OA2=4，
∴OA=2．
∴A（0，2），B（-2，0），C（2，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{4a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
（2）△OEF是等腰三角形．理由如下：如答图1，
∵A （0，2）），B （-2，0），
∴直线AB的函数表达式为：y=x+2，
又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，
∴设顶点F的坐标为（m，m+2）．
∴平移后的抛物线函数表达式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-m）2+m+2．
∵抛物线过点C （2，0），
∴-$\frac{1}{2}$（x-m）2+m+2=0，解得m1=0，m2=6．
∴平移后的抛物线函数表达式为：y=-（x-6）2+8，
即y=-$\frac{1}{2}$x2+6x-10．
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x2+6x-10=0，
解得x1=2，x2=10．
∴E（10，0），OE=10．
又∵F（6，8），OH=6，FH=8．
∴OF=$\sqrt{O{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OE=OF，即△OEF为等腰三角形．
（3）存在点Q（6，2$\sqrt{21}$）或（6，3）或（10，12）或（4+$\sqrt{14}$，6+$\sqrt{14}$）或（4-$\sqrt{14}$，6-$\sqrt{14}$），使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．
理由如下：
点Q的位置分两种情形：
情形一：点Q在射线HF上，
当点P在x轴上方时，如答图2．
∵△PQE≌△POE，
∴QE=OE=10．
在Rt△QHE中，QH=$\sqrt{Q{E}^{2}-H{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
∴Q（6，2$\sqrt{21}$）．
当点P在x轴下方时，如答图3，有PQ=OE=10，
过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6．
在Rt△PQK中，QK=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{K}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵∠PQE=90°，
∴∠PQK+∠HQE=90°．
∵∠HQE+∠HEQ=90°，
∴∠PQK=∠HEQ．
又∵∠PKQ=∠QHE=90°，
∴△PKQ∽△QHE．
∴$\frac{PK}{QH}=\frac{QK}{HE}$，
即$\frac{6}{QH}=\frac{8}{4}$，
解得QH=3．
∴Q（6，3）．
情形二：点Q在射线AF上，
当PQ=OE=10时，如答图4，有QE=PO，
∴四边形POEQ为矩形，
∴Q的横坐标为10．
当x=10时，y=x+2=12，
∴Q（10，12）．
当QE=OE=10时，如答图5．
过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N，
设Q的坐标为（x，x+2），
∴MQ=x，QN=10-x，EN=x+2．
在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，
即102=（10-x）2+（x+2）2，
解得：x=4±$\sqrt{14}$．
当x=4+$\sqrt{14}$时，如答图5，y=x+2=6+$\sqrt{14}$，
∴Q（4+$\sqrt{14}$，6+$\sqrt{14}$）．
当x=4-$\sqrt{14}$时，如答图6，y=x+2=6-$\sqrt{14}$，
∴Q（4-$\sqrt{14}$，6-$\sqrt{14}$）．
综上所述，存在点Q（6，2$\sqrt{21}$）或（6，3）或（10，12）或（4+$\sqrt{14}$，6+$\sqrt{14}$）或（4-$\sqrt{14}$，6-$\sqrt{14}$），使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．
点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求函数解析式、平移的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
如图所示，某教学活动小组选定测量山顶铁塔AE的高，他们在30m高的楼CD的底部点D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′．若小山高BE=62m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）
已知：抛物线y=x2-4x-m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点．
如图所示，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=$\frac{m}{x}$的图象交于A（-2，n），B（1，-3）两点．
