Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：
（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA₁和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD的中点重合，求△FCB₁和△B₁DG的周长之比．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：（1）根据矩形的性质得到CD=AB=4，∠A=∠ABC=∠ADC=∠C=90°，再根据折叠的性质得DA₁=BA，∠A₁=∠A=90°，∠A₁DF=∠ABC=90°，则DA₁=DC，利用等角的余角相等得到∠A₁DE=∠CDF，于是可根据“AAS”判定△EDA₁≌△FDC；
（2）由点B₁为CD的中点得到DB₁=CB₁=2，再根据折叠的性质得∠A₁B₁F=∠ABC=90°，FB₁=FB，接着利用等角的余角相等得∠DGB₁=∠CB₁F，于是可判断△DGB₁∽△CB₁F，利用相似三角形的性质得△FCB₁与△B₁DG的周长的比=FC：B₁D；设CF=x，则BF=BC-CF=6-x，FB₁=6-x，在Rt△CFB₁中利用勾股定理得x²+2²=（6-x）²，解得x=

8

3

，即CF=

8

3

，所以△FCB₁与△B₁DG的周长的比=

8

3

：2=4：3．

解答：解：（1）△EDA₁≌△FDC．证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4，∠A=∠ABC=∠ADC=∠C=90°，
∵将矩形纸片沿EF折叠，点B与点D重合，
∴DA₁=BA，∠A₁=∠A=90°，∠A₁DF=∠ABC=90°，
∴DA₁=DC，∠A₁DE=∠CDF，
在△EDA₁和△FDC中，

∠A1=∠C ∠A1DE=∠CDF DA1=DC

，
∴△EDA₁≌△FDC（AAS）；
（2）∵点B与CD的中点B₁重合，
∴DB₁=CB₁=2，
∵将矩形纸片沿EF折叠，
∴∠A₁B₁F=∠ABC=90°，FB₁=FB，
∴∠DB₁G+∠CB₁F=90°，
而∠DB₁G+∠DGB₁=90°，
∴∠DGB₁=∠CB₁F，
∴△DGB₁∽△CB₁F，
∴△FCB₁与△B₁DG的周长的比=FC：B₁D，
设CF=x，则BF=BC-CF=6-x，FB₁=6-x，
在Rt△CFB₁中，∵CF²+B₁C²=B₁F²，
∴x²+2²=（6-x）²，解得x=

8

3

，
即CF=

8

3

，
∴△FCB₁与△B₁DG的周长的比=

8

3

：2=4：3．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．