Question

下列一组方程：①x+

2

x

=3，②x+

6

x

=5，③x+

12

x

=7，…，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解题过程如下：
由①x+

1×2

x

=1+2得x=1或x=2；
由②x+

2×3

x

=2+3得x=2或x=3；
由③x+

3×4

x

=3+4得x=3或x=4，
（1）问题解决：请写出第四个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解；
（2）规律探究：若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解；
（3）变式拓展：若n为正整数，求关于x的方程x+

n2+n

x-3

=2n+4的解．

Answer 1

考点：分式方程的解

专题：规律型

分析：（1）根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程，进而求出该方程的解；
（2）利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可；
（3）利用已知解题方法得出方程的解．

解答：解：（1）由①x+

1×2

x

=1+2得x=1或x=2；
由②x+

2×3

x

=2+3得x=2或x=3；
由③x+

3×4

x

=3+4得x=3或x=4，
则第四个方程为：x+

4×5

x

=4+5，即x+

20

x

=9，
由x+

4×5

x

=4+5得：x=4或x=5；

（2）可得第n个方程为：x+

n(n+1)

x

=2n+1，
解得：x=n或x=n+1；

（3）将原方程变形，并根据变形后的方程求解，
（x-3）+

n(n+1)

x-3

=n+（n+1），
得x-3=n或x-3=n+1，
所以，x=n+3或x=n+4．

点评：此题主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解与其形式的规律是解题关键．