Question

已知：如图，在梯形ABCD中，DF平分∠D，若以点D为圆心，DC长为半径作弧，交边AD于点E，联结EF、BE、EC．
（1）求证：四边形EDCF是菱形；
（2）若点F是BC的中点，请判断线段BE和EC的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：梯形,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据圆的性质可得ED=DC，根据SAS证明△EDF≌△CDF，可得EF=CF，根据梯形的性质和平行线的性质，由等角对等边可得CF=CD，再根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定可证四边形BEDF是平行四边形，再根据菱形的性质即可求解．

解答：解：（1）∵DF平分∠D，
∴∠EDF=∠CDF，
∵DC长为半径作弧，
∴ED=DC，
在△EDF与△CDF中，

ED=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS）
∴EF=CF，
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF=∠DFC，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CF=CD，
∴ED=DC=CF=EF，
∴四边形EDCF是菱形．
（2）线段BE和EC的位置关系是垂直． 
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
∴BF=ED，
∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF 
∵四边形EDCF是菱形，
∴EC⊥DF 
∴BE⊥EC．

点评：考查了梯形，解决此问题，要弄清梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质及菱形的判定．